Você já encontrou alguém que compartilha a mesma data de aniversário que você? Ou talvez, conheça duas pessoas que nasceram no mesmo dia?
Afinal, quais são as chances disso acontecer? Essa resposta pode ser obtida se analisarmos o “paradoxo do aniversário”.
Trata-se de um fenômeno matemático que revela as propriedades surpreendentes da probabilidade e como nossa intuição pode nos enganar quando se trata de calcular a chance de eventos aleatórios.
Qual a chance de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia?
Para um grupo ter pelo menos 50% de chance de que duas pessoas compartilhem o mesmo aniversário, são necessárias apenas 23 pessoas, segundo o paradoxo do aniversário.
A intuição comum pode sugerir que seria necessário metade do número de dias em um ano, ou 183 pessoas, para uma chance de 50%, mas isso não é correto devido à natureza das combinações probabilísticas.
O cálculo real ignora anos bissextos para simplificar a matemática sem afetar significativamente o resultado e assume que todos os aniversários têm igual probabilidade de ocorrer.
Cálculo de pares
Para resolver este enigma, é fundamental compreender que o total de pares possíveis aumenta exponencialmente com o número de pessoas no grupo.
Nesse sentido, para aplicar o raciocínio correto, devemos analisar todos os pares possíveis e não apenas comparar com a nossa data de aniversário com a de outra pessoa.
Cada par tem uma probabilidade de 0,0027 de ter aniversários coincidentes. Aumentando o número de pares, a chance de coincidência cresce. Com 23 pessoas, analisamos 253 pares; com 60, são 1770 pares.
A fórmula para calcular o número de pares é: [n (n-1)] / 2. Para 23 pessoas, temos [23 (23–1)] / 2 = 253 pares. Cada par é um possível confirmador do paradoxo.
Princípio da casa dos pombos
A explicação matemática por trás do paradoxo do aniversário ainda baseia-se na probabilidade e no princípio da casa dos pombos.
Considere um grupo de N pessoas e a probabilidade de pelo menos duas delas terem o mesmo aniversário.
Seguindo este princípio, no exemplo mencionado anteriormente (o grupo de 23 pessoas), a probabilidade de duas pessoas não terem o mesmo aniversário é calculada assim:
- A primeira pessoa pode nascer em qualquer dia do ano, então a probabilidade é 365/365 = 1;
- A segunda pessoa tem 364/365 chances de não nascer no mesmo dia que a primeira;
- A terceira pessoa tem 363/365 chances de não nascer no mesmo dia que as duas primeiras, e assim por diante.
Multiplicamos todas essas probabilidades para o grupo de 23 pessoas para obter a probabilidade de todos terem aniversários diferentes.
Para encontrar a probabilidade de pelo menos dois terem o mesmo aniversário, subtraímos esse resultado de 1:
- P (pelo menos dois com o mesmo aniversário) = 1 - (365/365 × 364/365 × 363/365 ×… ×343/365)
Essa multiplicação resulta em uma probabilidade de cerca de 49% de que todos tenham aniversários diferentes.
Portanto, a probabilidade de pelo menos dois terem o mesmo aniversário é um pouco mais de 50%.
Esse resultado é surpreendente porque nossa intuição pode sugerir que a probabilidade deveria ser muito menor, dada a quantidade de dias no ano e o tamanho relativamente pequeno do grupo.
É por isso que é chamado de “paradoxo”, embora matematicamente não seja um paradoxo real, mas sim um resultado contraintuitivo da teoria das probabilidades.
Em outras palavras, ele revela que a intuição humana sobre probabilidades muitas vezes não corresponde à realidade matemática.
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